以下是谷歌浏览器插件自动同步功能故障排查的步骤和方法：
1. 检查网络连接：确保设备已连接到互联网，并且网络稳定。可以尝试打开其他网站或进行网络速度测试，以确认网络是否正常。如果网络有问题，可尝试重启路由器、切换网络环境等。
2. 更新浏览器和插件：在浏览器中，点击右上角的三个点图标，选择“帮助”-“关于Google Chrome”，检查并更新Chrome浏览器到最新版本。同时，在扩展程序管理页面（可通过点击右上角的三个点图标，选择“更多工具”-“扩展程序”进入），找到相关插件，检查是否有可用的更新，及时进行更新。
3. 清理缓存和Cookie：点击浏览器右上角的三个点图标，选择“更多工具”-“清除浏览数据”。在弹出的窗口中，选择清除全部时间范围内的数据，并勾选“清空缓存”和“删除Cookie及其他网站数据”，然后点击“清除浏览数据”按钮。
4. 检查插件设置：在扩展程序管理页面，找到出现问题的插件，点击插件下方的“详情”按钮，进入插件的设置页面，检查是否有相关的设置选项影响同步功能，如有则进行调整。
5. 关闭并重新开启同步功能：在Chrome浏览器中，点击右上角的三个点图标，选择“设置”。在左侧菜单中，找到并点击“同步和谷歌账户”。在“同步”部分，关闭“同步所有数据”开关，等待片刻后，再重新打开该开关，开启同步功能。
6. 检查Google账户：确认你的Google账户在其他设备上是否能正常同步书签或其他数据，以排除账户本身的问题。如果账户在其他设备上也无法正常同步，可尝试重置账户密码或联系Google客服寻求帮助。